Some topics about singular hyperbolicity and invariant measures
Mostramos a existência de métricas adaptadas para conjuntos singulares hiperbólicos de codimensão um com respeito a um campo $C^{1}$ em uma variedade compacta de dimensão finita sem uso de formas quadráticas. Analisando as medidas de um sistema, provamos um teorema tipo-Kingman para medidas finitas arbitrárias assumindo algumas condições em um espaço métrico qualquer, e fornecemos condições necessárias que garatem a existência de medidas invariantes em espaços separáveis e localmente compactos para funções próprias contínuas. Além disso, usamos o operador de Perron-Frobenius e as técnicas desenvolvidas aqui para obter um outro critério que garante a existência de medidas invariantes para funções contínuas (não necessariamente funções próprias) em espaços métricos localmente compactos e separáveis.
Palavras-chave: Conjunto singular hipérbolico, métricas adaptadas, Teorema tipo-Kingman, localmente compacto, separável, medidas invariantes, operador de Perron-Frobenius.
We show the existence of singular adapted metrics for any codimension one singular hyperbolic set with respect to a $C^{1}$ vector field on finite dimensional compact manifolds without using quadradic forms. Considering the measures of a system, we provide a Kingman-like Theorem for an arbitrary finite measure assuming some conditions in any metric space, and we give necessary conditions to guarantee the existence of invariant measures in locally compact and separable metric spaces for continuous proper maps. Moreover, we use the Perron-Frobenius operator and the techniques developed here to obtain other criteria to guarantee the existence of invariant measures for continuous maps (not necessarily a proper maps) in locally compact separable metric spaces.
Keywords: Singular hyperbolic set, adapted metrics, Kingman-like Theorem, locally compact, separable, invariant measures, Perron-Frobenius operator.
