Asymptotic probabilistic properties of orbits: return times and shortest distance

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Tipo: 
Teses
Banca: 
Jérôme François Alain Jean Rousseau; Paulo Cesar Rodrigues Pinto Varandas; Benoît Saussol; Miguel Natalio Abadi; Rodrigo Lambert.
Resumo: 
Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo de grandes desvios para tempo de retorno e comportamento assintótico da menor distância entre duas órbitas transformadas.
 
Na primeira parte, provamos um resultado de grandes desvios para o tempo de retorno de uma órbita de um sistema dinâmico numa $r$-vizinhança de seu ponto inicial $x$. Nosso primeiro resultado pode ser visto como uma versão diferenciável do trabalho de Jain e Bansal, que consideraram o tempo de retorno de um processo estacionário e ergódico definido no espaço das sequências finitas. Obtemos estimativas de grandes desvios para sistemas dinâmicos gerais, e no caso de repulsor conforme calculamos as funções taxas em termos do HP-espectro para dimensão da análise multifractal.
 
Na segunda parte deste trabalho, investigamos a menor distância entre duas órbitas transformadas e seu comportamento assintótico. O principal resultado é uma lei forte dos grandes números para uma versão reescalonada desta quantidade. A quantidade limite apresenta uma relação explícita com a dimensão de correlação da medida \textit{pushforward}. Aplicamos este resultado ao estudo da menor distância entre órbitas para um sistema dinâmico aleatório. No caso simbólico, este problema corresponde ao problema da maior subsequência comum entre sequências codificadas, e o seu limitante está relacionado com a entropia de R\'enyi do processo. Aplicamos este resultado aos modelos de contaminação inflada por zeros, e sequências de caracteres com pesos.
 
Palavras-chave: Recorrência de Poincaré, taxa exponencial, repulsor conforme, grandes desvios, correspondência de sequências, teoria de códigos, entropia de Rényi.
Abstract: 
This work provides some original contributions to the study of large deviation for return times and the asymptotic behavior of the shortest distance between observed orbits. In the first part, we prove a large deviation result for return time of the orbits of a dynamical system in a $r$-neighbourhood of an initial point $x$. Our first result may be seen as a differentiable version of the work by Jain and Bansal, who considered the return time of a stationary and ergodic process defined in the space of infinite sequences. We obtain large deviation estimates for dynamical systems in general and in the case of conformal repellers we compute the rate functions in terms of HP-spectrum for dimensions of multifractal analysis.
 
In the second part of this work, we investigate the shortest distance between two observed orbits and its asymptotic behavior. The main result is a strong law of large numbers for a re-scaled version of this quantity, which presents an explicit relation with the correlation dimension of the pushforward measure. We apply this result to study the shortest distance between orbits of a random dynamical system. In the symbolic case, this problem corresponds to the longest common substring problem for encoded sequences and its limiting relationship with the R\'enyi entropy. We apply this results to the zero-inflated contamination model and to the stochastic scrabble.\\
 
Keywords: Poincaré recurrence, exponential rate, conformal repeller, large deviation, string-matching, coding theory, Rényi entropy.

 

Data: 
Thursday, 14 February, 2019 - 21:00