EXTENSÃO DO CRITÉRIO DE KESTEN SOBRE AMENIDADE PARA EXTENSÕES POR GRAFOS DE APLICAÇÕES GIBBS-MARKOV
Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo das relações entre amenidade de grafos e Sistemas Dinâmicos. No primeiro resultado principal do trabalho, caracterizamos amenidade de grafo através da extensão por grafo de uma aplicação de Markov completa, inspirado nos trabalhos de Stadlbauer e Jaerisch para extensão por grupo. Vimos que sob hipóteses suaves, o grafo é ameno se, e somente se, o raio espectral do operador de Transferência associado a extensão por grafo é igual a 1. Além disso, definimos extensão por grafo de aplicações de Markov com estrutura de Gibbs-Markov embutida e de aplicações não-uniformemente expansoras, e mostramos a caracterização de amenidade de grafos através da extensão por grafo para essas classes de sistemas dinâmicos. Encerramos com duas aplicações não triviais. Primeiro, mostramos que o grafo de Schreier é ameno, se a taxa de decaimento da extensão por grafo de uma aplicação de Markov com estrutura de Gibbs-Markov embutida é igual a 1, enquanto na outra aplicação, consideramos extensão de uma aplicação de Markov completa por um semigrupo. Neste cenário, a amenidade do semigrupo é equivalente ao raio espectral do operador de Transferência ser igual a 1.
Palavras-chave: Amenidade, Aplicação de Markov, Extensão por grafo, Operador de Transferência, Formalismo Termodinâmico
This thesis provides some contributions to the study of the relations between amenability of graphs and dynamical systms. The first main result characterises amenability of a graph through the graph extension of a full Markov map, which is inspired by results of Satdlbauer and Jaerisch for group extension. Under mild assumptions it is shown that a graph is amenable if and only if the spectral radius of the transfer operator associated with the graph extension is equal to 1. Thereafter, we introduce graph extensions for Markov maps with embedded Gibbs-Markov structure and non-uniformly expanding maps, and obtain amenability criteria also for these classes of dynamical systems. We finish with two nontrivial applications. The first shows that the Schreier's graph is amenable if the decay rate of graph extension of a Markov maps with embedded Gibbs-Markov structure is equal to 1, whereas in the other application, we consider extensions of a full Markov map by a semigroup. In this setting, amenability of the semigroup is equivalent to the transfer operator having spectral radius 1.
Keywords: Amenability, Markov maps, Graph extension, Transfer operator, Thermodynamic Formalism
