On the behaviour of the singular values of expanding Lorenz maps
Neste trabalho, estudamos mapas de Lorenz expansor unidimensional $f$ com mesmo ponto singular $c$. Mostramos que se as órbitas dos valores singulares satisfazem uma condição de recorrência lenta, então toda probabilidade invariante ergódica possui recorrência lenta à singularidade e expoente de Lyapunov finito. Além disso, mostramos que genericamente, os valores singulares de um mapa de Lorenz expansor, não pertencem à bacia de sua medida SRB. Mostramos também, que a singularidade permite a existência de muitas medidas invariantes ergódicas com suporte total, entropia positiva, recorrência rápida à região singular e expoente de Lyapunov infinito. Além disso, consideramos uma família a dois parâmetros destes mapas e provamos que existe um cone no espaço de parâmetros, no qual encontramos conjuntos de pontos em curvas, com dimensão de Hausdorff positiva, de modo que os mapas associados a estes pontos possuem expoente de Lyapunov finito para todas as probabilidades invariantes ergódicas, e existe um único estado de equilíbrio para cada potencial Hölder.
Palavras-chave: Lorenz Expansor, expoente de Lyapunov, recorrência lenta, família a dois-parâmetros, dimensão de Hausdorff.
In this work we study one-dimensional expanding Lorenz maps $f$ with the same singular point $c$. We show that if the orbits of singular values satisfy a condition of slow recurrence, then every ergodic invariant probability has slow recurrence to the singularity and it has finite Lyapunov exponent. Moreover, we show that generically the singular values do not belong to the basin of its SRB measure. Also, we show that singularity allows the existence of many ergodic invariant measures with full support, having positive entropy, fast recurrence to the singular region and infinite Lyapunov exponent. Furthermore, we consider a two-parameter standard family of these maps and prove that there is a cone in the parameter space, in which we find sets of points on the curves, which has positive Hausdorff dimension, so that the maps associated to these points have finite Lyapunov exponent for every ergodic invariant probability, and there is one and only one equilibrium state for a given Hölder potential.
Keywords: Expanding Lorenz, Lyapunov exponent, slow recurrence, two-parameter family, Hausdorff dimension.
