THE SLOW BOND RANDOM WALK AND THE SNAPPING OUT BROWNIAN MOTION
Consideramos o passeio aleatório simétrico em tempo contínuo e com elo lento em $\bb Z$, cujas taxas são iguais a $1/2$ para todos os elos, exceto para o qual une os vértices $\{-1,0\}$, cuja taxa associada é dada por $\alpha n^{-\beta}/2$, onde $\alpha>0$ e $\beta\in [0,\infty]$ são os parâmetros do modelo. Provamos aqui um teorema central do limite funcional para esse passeio: se $\beta\in [0,1)$, então ele converge para o movimento browniano usual. Se $\beta\in (1,\infty]$, converge para o movimento browniano refletido. E no valor crítico $\beta=1$, converge para o snapping out Brownian Motion (SNOB) com parâmetro $\kappa=2\alpha$, que é um processo do tipo browniano construído recentemente em Lejay. Também fornecemos estimativas de Berry-Esseen na métrica dual limitada de Lipschitz para a convergência fraca de distribuições unidimensionais, que acreditamos ser finas. Ademais, são apresentados, no último capítulo, possíveis trabalhos futuros e dificuldades encontradas para obter a propagação do equilíbrio local para o modelo de Kipnis-Marchioro-Presutti (KMP) com elo lento.
Palavras-chave: Teorema Central do Limite, Passeio Aleatório com Elo Lento, Snapping Out Brownian Motion.
We consider the continuous time symmetric random walk with a slow bond on $\bb Z$, whose rates are equal to $1/2$ for all bonds, except for the bond of vertices $\{-1,0\}$, whose associated rate is $\alpha n^{-\beta}/2$, where $\alpha >0$ and $\beta\in [0,\infty]$ are the parameters of the model. We prove a functional central limit theorem for this random walk: if $\beta\in[0,1)$, then it converges to the usual Brownian motion, if $\beta\in (1,\infty]$, then it converges to the reflected Brownian motion, and at the critical value $\beta=1$, it converges to the snapping out Brownian motion (SNOB) of parameter $\kappa=2\alpha$, a Brownian type-process recently constructed in Lejay. We also provide Berry-Esseen estimates in the dual bounded Lipschitz metric for the weak convergence of one-dimensional distributions, which we believe to be sharp. Furthermore, in the last chapter, are presented possible future works and difficulties faced to obtain the propagation of the local equilibrium for the slow bond Kipnis-Marchioro-Presutti (KMP) Model.
Keywords: Central Limit Theorem, Slow Bond Random Walk, Snapping Out Brownian Motion.
