The Slow Bond Random Walk and the Snapping Out Brownian Motion
Consideramos o passeio aleatório simétrico em tempo contı́nuo e com elo lento em Z, cujas taxas são iguais a 1/2 para todos os elos, exceto para o qual une os vértices {−1, 0}, cuja taxa associada é dada por αn −β /2, onde α > 0 e β ∈ [0, ∞] são os parâmetros do modelo. Provamos aqui um teorema central do limite funcional para o passeio aleatório com um elo lento: se β ∈ [0, 1), então ele converge para o movimento browniano usual. Se β ∈ (1, ∞], converge para o movimento browniano refletido. E no valor crı́tico β = 1, converge para o snapping out Brownian Motion (SNOB) com parâmetro κ = 2α, que é um processo do tipo browniano construı́do re-centemente em 2016 por A. Lejay. Também fornecemos estimativas de Berry-Esseen na métrica dual limitada de Lipschitz para a convergência fraca de distribuições unidimensionais, que acreditamos ser finas.
Palavras-chave: Teorema Central do Limite, Passeio Aleatório com Elo Lento, Snapping Out Brownian Motion.
We consider the continuous time symmetric random walk with a slow bond on Z, which rates are equal to 1/2 for all bonds, except for the bond of vertices {−1, 0}, which associated rate is given by αn −β /2, where α > 0 and β ∈ [0, ∞] are the parameters of the model. We prove here a functional central limit theorem for the random walk with a slow bond: if β ∈ [0, 1), then it converges to the usual Brownian motion. If β ∈ (1, ∞], then it converges to the reflected Brownian mo-tion. And at the critical value β = 1, it converges to the snapping out Brownian motion (SNOB) of parameter κ = 2α, which is a Brownian type-process recently constructed in 2016 by A. Lejay. We also provide Berry-Esseen estimates in the dual bounded Lipschitz metric for the weak convergence of one-dimensional distributions, which we believe to be sharp.
Keywords: Central Limit Theorem, Slow Bond Random Walk, Snapping Out Brownian Motion.
Tertuliano Franco (UFBA) - Orientador
Dirk Erhard (UFBA) - Co-orientador
Vitor Domingos Martins de Araújo (UFBA)
Marcelo Richard Hilário (UFMG)
Renato Soares dos Santos (UFMG)
